Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos; si los dos números tienen igual signo, el producto es positivo, y si los dos números tienen distinto signo, el producto es negativo. Ejemplos:
(+3) · (+7) = +21
(-3) · (-7) = +21
(-3) · (+7) = -21
(+3) · (-7) = -21
Otro ejemplo:
Uso de la multiplicación de enteros en la Vida Real.
Ejemplos:
Juan gasta 3 euros cada vez que va a la escuelas. ¿Cuanto gasta si va cinco día en una semana?
Datos:
gasto = -3
día que va a la escuela = 5
Total:(-3).(+5) = -15
Otro ejemplo:
Si tenemos en un deposito un tanque con 50 litros de agua, y sacamos agua con un envase que solo puede contener 8 litros de agua.¿Que cantidad de agua se le habrá sacado a dicho tanque si se le ha sacado 4 veces agua?
En las sumas y restas combinadas de números enteros, pueden aparecer los signos de agrupación llamados; paréntesis ( ), corchetes [ ] o las llaves { }. A veces estos evitan que aparezcan dos operaciones juntas o también agrupan algunas operaciones.
Para realizar operaciones combinadas de sumas y restas de números enteros, podemos realizarlas de dos maneras:
a-) Eliminando los signos de agrupación y luego realizar las operaciones.
Ejemplo:
7 – (-2) – 4+(-9) =
eliminando los signos de agrupación.
7 + 2 – 4 – 9 =
9 – 13 = - 4
b-)Realizando las operaciones que están dentro del signo de agrupación que aparezca.
Ejemplo:
– 6 + (-8+6) + 15 =
resolviendo las operaciones que están dentro del paréntesis.
– 6 – 2 + 15 =
– 8 + 15 = 7
Suma y resta combinadas de números enteros en la Vida Real .
Podemos encontrar o aplicar la suma y la resta de números enteros para resolver problemas comunes de nuestra vida.
Ejemplo 1:
Si un buzo se sumerge 4 metros, luego sube 2 metros y finalmente desciende 5 metros más, ¿a qué profundidad se encuentra al final de su recorrido?
Recordar que: bajar, sumergir y descender, se representa con números negativos.
Recordar que: subir, aumentar, se representa con números positivos.
Datos:
-sumerge 4 metros........... -4
-Sube 2 metros................. +2
-Descender 5 metros........ -5
Respuesta=–4 +2 – 5 =–9 + 2 = –7metros.
Ejemplo 2:
Un auto está ubicado a 7 metros. a la derecha de una casa, luego avanza 23 metros y retrocede 36m, pero después vuelve avanzar 19 metros y retrocede 36 m. ¿A qué distancia de la casa se encuentra?
Respuesta: +7 +23 - 36 +19 -36 =
los positivos = 7+23+19 = 49
los negativos = -36-36 = -72
Resultado = 49 -72 = -23, se encuentra a 23 metros de la casa.
En la vida se nos presentan muchas veces situaciones que no pueden expresarse mediante los números naturales. En este caso se necesitan otro tipo de números, que son los números enteros.
El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.
Los números enteros se dividen en tres partes:
→ Positivos: +1, +2, +3, +4, +5, .... → Negativos: -1, -2, -3, -4, -5, .... → El cero: 0. (El cero es el único número que no es ni positivo ni negativo).
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros.
En muchas ocasiones de nuestra vida utilizamos números. Los números naturales los has estudiado en años anteriores y se usan día a día en múltiples situaciones para ordenar, contar o identificar. Los números enteros los utilizamos para plantear problemas d ela vida real como:
- Valores de temperaturas (-7º, siete grados por debajo de cero; +3º, tres grados por encima de cero). - Plantas de edificios (-1, planta por debajo de la calle; +5, cinco plantas por encima). - Los años en las líneas del tiempo (-1.500 = 1.500 años a.C.). - Deudas. - Profundidades bajo el nivel del mar
Al dividir dos números: • que tienen igual signo, el resultado es siempre positivo. Ejemplos 1. 120 ÷ 10 = 12 2. (–36) ÷ (–9) = 4
• que tienen diferentes signos, el resultado es negativo. Ejemplos 1. (–54) ÷ 6 = –9 2. 20 ÷ (–4) = –5
En la división de números enteros, también se aplica la regla de los signos dela multiplicación.
División de números enteros en la Vida Real.
Ejemplos
1-) El padre del Juan, María y José, dejo una deuda con el banco de $ 115,000, si los tres hermanos deciden pagar la deuda,¿cuanto deben pagar cada uno?
-aquí la deuda = -115,000
-será dividida = 3
Resultado = (-115000) ÷ (3) = - 35,000 lo que pagará cada uno.
2-)Hemos comprado 4 kg de trigo y hemos pagado 44 euros, ¿ cuánto ha costado el kg de trigo?
-aqui el trigo= +4
-aqui pagado = +44
Resultado = (+44) ÷ (+4) = +11 lo que cuesta cada kilo de trigo.
En nuestras vidas se presentan situaciones que podemos solucionar con la ayuda de los números enteros, ahí pueden intervenir diferentes operaciones.
Ejemplo :
En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
Datos: - el deposito tiene = +800 litros - se vierten 25 litros cada minuto= +25 Planteamiento: 800+ 25x15 Recordar la jerarquía de la operación para resolver este problema.
Ejemplo 2: Sebastián fue de compras al supermercado. Ese día la libra de tomates estaba a 400 el kilo, las papas a 250 el kilo y cada zanhoria a 80 cada uniad. El Compró 2 kg de papas, 3 kg de tomates y 3 zanahorias. Como ese día había un descuento especial de $1000 por el total de la compra, ¿cuánto pagará Sebastián en la caja?
Datos: - dos kilos de papas = 2 • 250 - tres kilos de tomates = 3 • 400 - tres zanahorias = 3 • 800 - y mil pesos de descuento = –1000
Planteamiento:2 • 250 + 3 • 400 + 3 • 80 – 1000
Recordar la jerarquía de la operación para resolver este problema.
Las operaciones combinadas, son varias operaciones que aparecen en un ejercicios con números enteros, es decir, se hacen distintas operaciones de (sumas, restas, productos o cocientes). Para realizar dichas operaciones es necesario establecer una prioridad a la hora de resolver el ejercicio.
En las operaciones combinada pueden aparecer corchetes [], paréntesis() , productos, cocientes, sumas, restas entre otras. El orden para realizar dichas operaciones son:
1-) En el caso de que haya operaciones encerradas entre paréntesis o un signo de agrupación, se empieza siempre por éstos.
2-) Las potencias y las radicaciones. 3-) Se resuelven las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.
4-) Por último, se resuelven las sumas y restas, siguiendo el orden de izquierda a derecha.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
a-) 10 ÷ 2 + 5 x 3 + 4 - 5 x 2 - 8 + 4 x 2 - 16 ÷ 4 =
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.
