Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos; si los dos números tienen igual signo, el producto es positivo, y si los dos números tienen distinto signo, el producto es negativo. Ejemplos:
(+3) · (+7) = +21
(-3) · (-7) = +21
(-3) · (+7) = -21
(+3) · (-7) = -21
Otro ejemplo:
Uso de la multiplicación de enteros en la Vida Real.
Ejemplos:
Juan gasta 3 euros cada vez que va a la escuelas. ¿Cuanto gasta si va cinco día en una semana?
Datos:
gasto = -3
día que va a la escuela = 5
Total:(-3).(+5) = -15
Otro ejemplo:
Si tenemos en un deposito un tanque con 50 litros de agua, y sacamos agua con un envase que solo puede contener 8 litros de agua.¿Que cantidad de agua se le habrá sacado a dicho tanque si se le ha sacado 4 veces agua?
En las sumas y restas combinadas de números enteros, pueden aparecer los signos de agrupación llamados; paréntesis ( ), corchetes [ ] o las llaves { }. A veces estos evitan que aparezcan dos operaciones juntas o también agrupan algunas operaciones.
Para realizar operaciones combinadas de sumas y restas de números enteros, podemos realizarlas de dos maneras:
a-) Eliminando los signos de agrupación y luego realizar las operaciones.
Ejemplo:
7 – (-2) – 4+(-9) =
eliminando los signos de agrupación.
7 + 2 – 4 – 9 =
9 – 13 = - 4
b-)Realizando las operaciones que están dentro del signo de agrupación que aparezca.
Ejemplo:
– 6 + (-8+6) + 15 =
resolviendo las operaciones que están dentro del paréntesis.
– 6 – 2 + 15 =
– 8 + 15 = 7
Suma y resta combinadas de números enteros en la Vida Real .
Podemos encontrar o aplicar la suma y la resta de números enteros para resolver problemas comunes de nuestra vida.
Ejemplo 1:
Si un buzo se sumerge 4 metros, luego sube 2 metros y finalmente desciende 5 metros más, ¿a qué profundidad se encuentra al final de su recorrido?
Recordar que: bajar, sumergir y descender, se representa con números negativos.
Recordar que: subir, aumentar, se representa con números positivos.
Datos:
-sumerge 4 metros........... -4
-Sube 2 metros................. +2
-Descender 5 metros........ -5
Respuesta=–4 +2 – 5 =–9 + 2 = –7metros.
Ejemplo 2:
Un auto está ubicado a 7 metros. a la derecha de una casa, luego avanza 23 metros y retrocede 36m, pero después vuelve avanzar 19 metros y retrocede 36 m. ¿A qué distancia de la casa se encuentra?
Respuesta: +7 +23 - 36 +19 -36 =
los positivos = 7+23+19 = 49
los negativos = -36-36 = -72
Resultado = 49 -72 = -23, se encuentra a 23 metros de la casa.
En la vida se nos presentan muchas veces situaciones que no pueden expresarse mediante los números naturales. En este caso se necesitan otro tipo de números, que son los números enteros.
El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.
Los números enteros se dividen en tres partes:
→ Positivos: +1, +2, +3, +4, +5, .... → Negativos: -1, -2, -3, -4, -5, .... → El cero: 0. (El cero es el único número que no es ni positivo ni negativo).
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros.
En muchas ocasiones de nuestra vida utilizamos números. Los números naturales los has estudiado en años anteriores y se usan día a día en múltiples situaciones para ordenar, contar o identificar. Los números enteros los utilizamos para plantear problemas d ela vida real como:
- Valores de temperaturas (-7º, siete grados por debajo de cero; +3º, tres grados por encima de cero). - Plantas de edificios (-1, planta por debajo de la calle; +5, cinco plantas por encima). - Los años en las líneas del tiempo (-1.500 = 1.500 años a.C.). - Deudas. - Profundidades bajo el nivel del mar
Al dividir dos números: • que tienen igual signo, el resultado es siempre positivo. Ejemplos 1. 120 ÷ 10 = 12 2. (–36) ÷ (–9) = 4
• que tienen diferentes signos, el resultado es negativo. Ejemplos 1. (–54) ÷ 6 = –9 2. 20 ÷ (–4) = –5
En la división de números enteros, también se aplica la regla de los signos dela multiplicación.
División de números enteros en la Vida Real.
Ejemplos
1-) El padre del Juan, María y José, dejo una deuda con el banco de $ 115,000, si los tres hermanos deciden pagar la deuda,¿cuanto deben pagar cada uno?
-aquí la deuda = -115,000
-será dividida = 3
Resultado = (-115000) ÷ (3) = - 35,000 lo que pagará cada uno.
2-)Hemos comprado 4 kg de trigo y hemos pagado 44 euros, ¿ cuánto ha costado el kg de trigo?
-aqui el trigo= +4
-aqui pagado = +44
Resultado = (+44) ÷ (+4) = +11 lo que cuesta cada kilo de trigo.
En nuestras vidas se presentan situaciones que podemos solucionar con la ayuda de los números enteros, ahí pueden intervenir diferentes operaciones.
Ejemplo :
En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
Datos: - el deposito tiene = +800 litros - se vierten 25 litros cada minuto= +25 Planteamiento: 800+ 25x15 Recordar la jerarquía de la operación para resolver este problema.
Ejemplo 2: Sebastián fue de compras al supermercado. Ese día la libra de tomates estaba a 400 el kilo, las papas a 250 el kilo y cada zanhoria a 80 cada uniad. El Compró 2 kg de papas, 3 kg de tomates y 3 zanahorias. Como ese día había un descuento especial de $1000 por el total de la compra, ¿cuánto pagará Sebastián en la caja?
Datos: - dos kilos de papas = 2 • 250 - tres kilos de tomates = 3 • 400 - tres zanahorias = 3 • 800 - y mil pesos de descuento = –1000
Planteamiento:2 • 250 + 3 • 400 + 3 • 80 – 1000
Recordar la jerarquía de la operación para resolver este problema.
Las operaciones combinadas, son varias operaciones que aparecen en un ejercicios con números enteros, es decir, se hacen distintas operaciones de (sumas, restas, productos o cocientes). Para realizar dichas operaciones es necesario establecer una prioridad a la hora de resolver el ejercicio.
En las operaciones combinada pueden aparecer corchetes [], paréntesis() , productos, cocientes, sumas, restas entre otras. El orden para realizar dichas operaciones son:
1-) En el caso de que haya operaciones encerradas entre paréntesis o un signo de agrupación, se empieza siempre por éstos.
2-) Las potencias y las radicaciones. 3-) Se resuelven las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.
4-) Por último, se resuelven las sumas y restas, siguiendo el orden de izquierda a derecha.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
a-) 10 ÷ 2 + 5 x 3 + 4 - 5 x 2 - 8 + 4 x 2 - 16 ÷ 4 =
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.
Cuando se resta números enteros, se cambia la operación de resta a la suma y se le cambia el signo al sustraendo. El sustraendo es el número que está después del signo de resta. El signo de resta se reemplaza por el signo de suma y se busca el opuesto del sustraendo.
Luego de transformar el ejercicio de resta a suma, se procede con las reglas de suma de números enteros. Esto es, si a y b son enteros, entonces, a – b = a + (- b).
Resta de números enteros en la Vida Real. La resta de números enteros nos la encontramos en la vida del diario vivir en diferentes situaciones, como por ejemplo:
1-) Ayer lunes, la mínima temperatura fue de -4° C y la máxima de 13°C en cambio, hoy martes, la mínima fue de -2°C y la máxima de 10°C.
1-) Si sumamos dos números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común (el mismo signo).
Ejemplo:
+6 + 5 = +11
(−4) + (−5) = −9
2-) Si sumamos dos números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.
Ejemplo:
−7 + 6 = -1
-8 + 17 = +9
Suma de números enteros en la vida real.
Los números enteros los utilizamos en la vida real para plantear y resolver situaciones.
Ejemplo:
1-) Un avión vuela a 900 m y un submarino está a -850 m. ¿Cuál es la diferencia de altura entre ambos?
- Aquí +900 la altura del avión, ya que las alturas son positivas. - Aquí – 850 la profundidad del submarino, ya que las profundidades siempre son negativas.
Entonces +900 – 850 = +150 esa es la diferencia de altura.
2-) En la cuenta de ahorro del banco tenemos 1850 pesos. Se paga el recibo de la luz, que vale 535 pesos; el recibo del teléfono, que vale 810 pesos. ¿Cuánto dinero queda en la cuenta de ahorro?
- Aquí tenemos +1850 lo que tenemos en la cuenta. - Aquí tenemos -535 lo que tenemos que pagar de luz. - Aquí tenemos -810 lo que tenemos que pagar del teléfono.
Entonces: +1850 – 535 -810 = 505 serían lo que queda en la cuenta.
La recta numérica, es una recta en cual, a cada uno de sus puntos, le podemos asignar un el valor de un número enteros.
Para empezar a construir una recta numérica, marcamos un punto en la recta numérica al que llamamos 0 y la dividimos en segmentos que llamaremos unidades, todos de la misma longitud. Cada uno representa una unidad, que separa un número entero del siguiente. Así: Recta dividida en segmentos de la misma longitud con un punto al que llamamos 0.
Recta dividida en segmentos del mismo tamaño con la ubicación de los números naturales en cada uno de sus extremos, a la derecha del punto 0.
Los números enteros (Z), se representan de la misma forma que los naturales, pero en el sentido contrario a partir del punto al que hemos llamado 0. Así:
Recta dividida en segmentos unidad con números enteros negativos ubicados a la derecha del punto 0.
Distancia entre dos puntos
Ejemplo:
1-) ¿Cuántas unidades separa el -2 del +4?
Respuesta: 6 unidades.
como se puede ver contando la flecha desde el -2 hasta +4.
En la recta numérica, todo número que se encuentra a la izquierda de otro es menor que él. Un número entero negativo es siempre menor que cero y que un números entero positivo cualquiera.Entre dos números enteros negativos, el menor es el que se encuentra a mayor distancia del cero. Ejemplo:
5 > 3 _________ 5 es mayor que 3.
−10 < −7 ------------- −10 es menor que −7. Cuando vamos a comparar u organizar números enteros, debemos tomar en cuenta: a) Todo número negativo es menor que cero. −7 < 0 b)Todo número positivo es mayor que cero. 7 > 0 c)Entre dos negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; es decir, el que esté más próximo a 0 en la recta numérica:
-40° < -6°
También decimos que los números enteros representa deudas, por ejemplo:
-Si Pedro debes $ 100 pesos, esto se representa como -100
-Si Luis deber $ 82 pesos, esto se representa como -80
Es de ahi donde se dice que -80 es mayor que -100, ya que mientra menos se debe, es mejor.
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo, y su resultado es siempre positivo, ya que dicho valor lo utilizamos para medir distancia y esta siempre es positiva.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
Ejemplo: El valor absoluto de:
|−5| = 5........representa 5 unidades.
|+5| = 5........representa 5 unidades.
Propiedades del valor absoluto
1-) Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
2-) El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. |a · b| = |a| ·|b|
